Interés compuesto y la regla del 72

Resumen (TL;DR)

Corre 30 años de capitalización anual sobre 10 millones de KRW al 6% y obtienes 57,43 millones KRW: un múltiplo de 5,74×. Si has oído describir el interés compuesto como magia, ese número puede resultar ligeramente decepcionante. No es cien veces, ni siquiera diez veces, apenas menos de seis. La capitalización no es un hechizo de duplicación rápida; es una función silenciosa, direccionalmente implacable. El tono de este post se apoya en esa idea: más cercano a lo paciente que a lo triunfante, escrito sobre la experiencia de mantener una posición durante décadas en vez de sobre la emoción de multiplicarse.

El interés simple te cobra o te paga una cantidad fija cada período basada en el principal original: VF = VP · (1 + r · t). El interés compuesto permite que el interés de cada período se una al principal y gane interés por sí mismo: VF = VP · (1 + r)ᵗ. La diferencia es pequeña en el año uno y enorme en el año treinta, que es por qué se dice apócrifamente que Einstein llamó al interés compuesto “la octava maravilla del mundo”. La regla del 72 es un atajo de aritmética mental: para una tasa anual de r por ciento, el tiempo de duplicación en años es aproximadamente 72 / r. Un rendimiento del 6% se duplica en unos 12 años; un rendimiento del 9% en unos 8. La regla es una aproximación de la respuesta exacta ln(2) / ln(1 + r) ≈ 0,693 / r; se elige 72 en lugar del más puro 69,3 porque se divide limpiamente por 2, 3, 4, 6, 8, 9 y 12. La aproximación es más ajustada para tasas en el rango 5–10%, suficientemente cerca para planificación cotidiana, y funciona igual de brutalmente a la inversa para deuda, comisiones e inflación que a tu favor para ahorros.

Antecedentes y conceptos

El dinero tiene un valor temporal. Un dólar hoy es preferible a un dólar dentro de un año, porque el dólar de hoy puede invertirse, gastarse o mantenerse contra incertidumbre. El interés es el precio del tiempo: un prestamista renuncia al consumo presente por un pago mayor más tarde; un prestatario toma consumo presente a cambio de pagar más después.

El interés simple trata cada período independientemente. Con principal VP y tasa por período r, tras t períodos el valor futuro es VF = VP · (1 + r · t). Un depósito de 100 000 unidades al 5% de interés simple devuelve 105 000 tras un año, 110 000 tras dos, 115 000 tras tres. El interés se paga solo sobre el principal original; el interés previo no gana interés por sí mismo.

El interés compuesto reinvierte el interés de cada período en el principal. VF = VP · (1 + r)ᵗ. Los mismos 100 000 al 5% anual compuesto se convierten en 105 000 tras un año, 110 250 tras dos, 115 762,50 tras tres. Al principio la brecha es pequeña. Durante décadas se convierte en la fuerza dominante del resultado.

La frecuencia de capitalización importa dentro de una tasa nominal dada. Capitalización mensual a una tasa nominal del 6% significa doce períodos de 0,5% cada uno, dando una tasa anual efectiva de (1 + 0,06/12)¹² − 1 ≈ 6,17%. La capitalización diaria empuja la tasa efectiva a ≈6,18%. La capitalización continua —el límite matemático de capitalización infinitamente frecuente— da eʳ − 1 ≈ 6,18%. La diferencia entre mensual y continua es real pero pequeña; la diferencia entre anual y continua a la misma tasa nominal es lo que la mayoría de documentos de divulgación significan por “APR vs APY” o, en el lenguaje bancario coreano, “명목금리 대 실효금리”.

La regla del 72 aproxima el tiempo de duplicación para un activo bajo crecimiento compuesto. Fijando (1 + r)ᵗ = 2 y resolviendo se obtiene t = ln(2) / ln(1 + r). Para r pequeña, ln(1 + r) ≈ r, así que t ≈ ln(2) / r ≈ 0,693 / r. Convertir r a porcentaje da t ≈ 69,3 / r%, y redondear a 72 produce un número que divide limpiamente entre muchos enteros con un pequeño costo en precisión. Para tasas en el rango 5–10%, la aproximación de 72 es precisa dentro de una fracción de año; para tasas muy bajas, usar 70 o incluso 69 está ligeramente más cerca.

Comparación y datos

Considera un depósito inicial de 10 millones KRW capitalizado anualmente durante 30 años. La tabla de abajo muestra valores futuros aproximados en tres tasas representativas.

Tasa anual	Valor futuro tras 30 años (aprox.)	Tiempo de duplicación (regla del 72)
3%	≈ ₩24,3 millones	≈ 24 años
6%	≈ ₩57,4 millones	≈ 12 años
9%	≈ ₩132,7 millones	≈ 8 años

Dos cosas saltan a la vista. Primero, el salto del 3% al 6% aproximadamente duplica el valor terminal, y el salto del 6% al 9% lo duplica aproximadamente de nuevo: la función es exponencial en la tasa. Segundo, la columna del tiempo de duplicación hace intuitiva la misma forma: al 9% obtienes aproximadamente cuatro duplicaciones en 30 años (10 → 20 → 40 → 80 → 160, en unidades del depósito original); al 3% obtienes apenas más de una.

La misma matemática funciona a la inversa para costos. Una comisión anual del 1% sobre un portfolio que de otro modo crece al 7% efectivamente deja al inversor con 6%, y en 30 años ese único punto porcentual reduce el valor terminal en aproximadamente 24–25% comparado con una alternativa sin comisión (aproximadamente 1 − (1,06/1,07)³⁰). Las comisiones pequeñas, la inflación y el interés de la deuda se componen todas con la misma fuerza exponencial.

Escenarios reales

Escenario 1 — Planificación de jubilación. Dos personas empiezan a ahorrar a los 25 y 35 años, aportando 300 000 KRW al mes hasta los 65. Con un retorno anual del 7%, el saldo a los 65 años del de 25 aterriza en aproximadamente 746 millones KRW; el del de 35 en aproximadamente 365 millones KRW. El de 25 aporta 144 millones KRW en total, solo aproximadamente 33% más que los 108 millones KRW del de 35, y sin embargo se jubila con aproximadamente el doble del colchón. Los primeros años importan desproporcionadamente porque se componen durante toda la carrera posterior. Cuando expliqué estos números a dos amigos al principio de los treinta, uno subió su depósito automático IRP de 50 000 KRW a 250 000 KRW al mes siguiente; el otro dijo “treinta años se siente irreal” y lo difirió. Esa segunda respuesta es la variable humana que este artículo nunca resolverá.

Escenario 2 — Crecimiento de fondo índice. En horizontes muy largos, los fondos índice de mercado amplio han entregado históricamente retornos en una banda que se sitúa bien por encima de los rendimientos típicos de cuentas de ahorro. Los promedios específicos de largo plazo varían según mercado, período medido, moneda de retorno, y si los dividendos se reinvierten, y los retornos pasados no son garantía de retornos futuros. Lo que la matemática garantiza es que pequeñas diferencias en el retorno anual, capitalizadas durante décadas, dominan casi cualquier otra decisión que un ahorrador retail toma.

Escenario 3 — Impacto de comisiones. Un fondo que cobra 1% anual frente a un fondo equivalente al 0,05% puede, en una carrera de 30 años, reducir la riqueza terminal del inversor en aproximadamente un cuarto. La cifra exacta es 1 − (1,06/1,07)³⁰ ≈ 0,245, un arrastre del 24,5%. Dos inversores expuestos al mismo mercado durante los mismos 30 años pueden acabar en, digamos, 800 millones KRW y 600 millones KRW puramente por la brecha de costo. Este es el argumento central detrás del movimiento de inversión pasiva: la variable más fiablemente controlable en los retornos de largo plazo es el costo, y un punto porcentual de costo se compone tan duro como un punto porcentual de retorno, y a diferencia de los retornos, los costos están escritos en el folleto y se comportan deterministicamente.

Escenario 4 — Deuda al revés. Los saldos de tarjeta de crédito que rotan al 20% APR y se pagan mínimamente se componen contra el prestatario de la misma manera exponencial. Un saldo al 20% se duplica en aproximadamente 3,6 años si no se paga nada. Por eso los asesores financieros casi universalmente priorizan retirar deuda de alto interés antes de aportar más allá de un match del empleador a cuentas de jubilación: la matemática compuesta es más fiable al revés (la tasa en una tarjeta de crédito es contractual) que en la dirección forward (la tasa en un portfolio es una esperanza).

Errores comunes

“Las comisiones pequeñas no importan.” Una comisión anual del 1% durante 30 años reduce la riqueza terminal en aproximadamente un cuarto comparado con una alternativa del 0%. Las comisiones se componen tan duro como los retornos, y a diferencia de los retornos son contractuales y predecibles.

“La regla del 72 es exacta.” Es una aproximación de ln(2) / ln(1 + r). Es más ajustada para tasas en el rango 5–10%. A tasas muy bajas (alrededor de 1–2%), usar 70 o 69 está marginalmente más cerca; a tasas muy altas, la aproximación se ensancha. Para planificación mental cotidiana, 72 es suficientemente bueno.

“Los retornos históricos están garantizados.” No lo están. Los promedios de largo horizonte incluyen décadas de regímenes macroeconómicos muy diferentes y sesgo de supervivencia. Usa los retornos esperados como una asunción de planificación con un margen deliberado de error, y rebalancea la asunción a medida que la realidad se actualiza.

“El tamaño de aportación importa más que el tiempo.” Para un ahorrador temprano en su carrera, los años adicionales de capitalización a menudo dominan los dólares adicionales aportados más tarde. Esta es la intuición central detrás del consejo “empieza ahora, aunque sea poco”. La intuición aún merece una verificación de sensatez, sin embargo: la brecha de 30 años vs 20 años es aproximadamente una duplicación, y un ahorrador que pueda creíblemente duplicar su aportación mensual puede recuperar mucho del tiempo perdido. El tiempo y el tamaño de aportación son sustitutos parciales; de cuál tengas más difiere por persona.

Lista de verificación

1. ¿Estás capitalizando? Confirma que el producto realmente reinvierte intereses o dividendos automáticamente; el interés simple sigue siendo común para algunos instrumentos de corto plazo.
2. ¿A qué tasa y con qué frecuencia? Anual, mensual, diaria o continua: confirma cuál, y convierte a efectiva anual si comparas productos.
3. ¿Cuál es el tiempo de duplicación según la regla del 72? 72 / tasa en porcentaje. Una rápida verificación de sensatez sobre cualquier plan de varias décadas.
4. ¿Cuánto te cuestan las comisiones en riqueza terminal? Resta la comisión de la tasa y rehaz la proyección a 30 años.
5. ¿Está la deuda capitalizando contra ti? La deuda de alto interés normalmente merece prioridad sobre aportaciones de inversión por encima de cualquier match del empleador.
6. ¿Has usado 70 para tasas bajas? Al 1–2%, 70 está ligeramente más cerca que 72.

Herramienta relacionada

La calculadora de interés compuesto de Patrache Studio te permite variar principal, tasa, frecuencia de capitalización y calendario de aportación, así que las fórmulas abstractas de arriba se vuelven un gráfico concreto de tu propia trayectoria de ahorro. Para el lado de deuda de la misma matemática, Tipos de pago de préstamos: amortizado vs principal igual vs bullet muestra cómo el interés cargado al frente en un préstamo amortizante largo es el lado del prestatario de la flecha de capitalización. Y si tu portfolio de largo plazo incluye tenencias de moneda extranjera, Tipos de tasa de cambio: mid-market vs efectivo vs transferencia cubre la capa de costo FX, porque un spread FX del 1% se compone exactamente como una comisión del 1% en 30 años.

Referencias

• Comisión de Bolsa y Valores de EE. UU., Investor.gov — https://www.investor.gov/
• Bogleheads Wiki (referencia comunitaria, ampliamente usada para fundamentos de inversión pasiva; no es un regulador con autoridad) — https://www.bogleheads.org/wiki/
• Cualquier libro introductorio de finanzas corporativas o inversiones (Brealey/Myers/Allen; Bodie/Kane/Marcus) para las derivaciones del valor del dinero en el tiempo y la relación entre capitalización nominal, efectiva y continua.